Croissances comparées

Soit \(\left(u_{n}\right)\)  la suite définie pour tout \(n\in \mathbb N^*\)  par \(u_n=\dfrac{n^{n}}{n!}\) .

1. a. Montrer que \(\forall n\in\mathbb{N}^{*}\) , \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{(n+1)^{n}-n^{n}}{n!}\) .
    b. En déduire le sens de variations de la suite \(\left(u_{n}\right)\) .

2. a. En écrivant `u_n`  sous la forme  \(u_n=\displaystyle\prod_{k=1}^n\dfrac{n}{k}\) , démontrer que \(u_n\geqslant n\) .
    b. En déduire la limite de la suite `\left(u_{n}\right)` .